Question

3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1），正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式为y=3x或y=-$\frac{1}{3}$x．

Answer 1

分析 ①当直线过第一、三象限时，如图1，过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，由∠OAB=∠OCA=∠D=90°知△OCA∽△ADB，得$\frac{OC}{AD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OA}{AB}$，根据A（2，1）、∠AOB=45°得AD=OC=2、BD=AC=1，即可得点D、B的坐标，从而得出答案；
②当直线过第二、四象限时，过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作直线平行于x轴，交y轴于点C，过点B作BD⊥AC，与（1）同理．

解答 解：分两种情况：
①当直线过第一、三象限时，如图1，过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，

则∠OAB=∠OCA=∠D=90°，
∴△OCA∽△ADB，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OA}{AB}$，
∵A（2，1），∠AOB=45°，
∴OC=2，AC=1，AO=AB，
∴AD=OC=2，BD=AC=1，
∴点D的坐标为（2，3），
∴点B的坐标为（1，3），
此时正比例函数的解析式为y=3x；
②当直线过第二、四象限时，过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作直线平行于x轴，交y轴于点C，过点B作BD⊥AC，

则∠OAB=∠OCA=∠D=90°，
∴△OCA∽△ADB，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{OA}{AB}$，
∵A（2，1），AC=2，AO=AB，
∴AD=OC=1，BD=AC=2，
∴D点坐标为（3，1），
∴点B的坐标为（3，-1），
此时正比例函数解析式为y=-$\frac{1}{3}$x，
故答案为：y=3x或y=-$\frac{1}{3}$x．

点评 本题主要考查待定系数法求正比例函数解析式、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质得出点D、点B的坐标是解题的关键．