Question

14．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心5个单位长度为半径在x轴上方作半圆，交x轴于点A、C两点，点B是该半圆周上第一象限内一动点，连结CB、AB，并延长BC至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线CB于点E、F，点E为垂足，连结OF．
（1）当∠CAB=30°时，求弧$\widehat{AB}$的长度；
（2）当点D在第一象限且DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由已知得∠AOB=2∠ACB=60°，根据弧长公式求解；
（2）连接CD，由垂直平分线的性质得CD=AB=10，又DE=8，在Rt△CDE中，由勾股定理求CE，依题意证明△CEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标．

解答 解：（1）∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴$\widehat{AB}$=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5}{3}$π
（2）如图，

连接CD，
∵∠ACB=90°，BD=BA，
∴CD=CB=10，
∵DE⊥AC，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=6，
∴AE=AC-CE=4，
∴DE=2AE，
∵∠DFB=∠DAE，∠DFB=∠CFE，
∴∠CFE=∠DAE，
∵∠CEF=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△DEA，
∴$\frac{CE}{EF}=\frac{DE}{AE}$=2，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=3；
（3）连接EB，设E（x，0），
当$\widehat{AB}$的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；
①0°＜$\widehat{AB}$的度数＜60°时，点E在O、A之间，∠EOF＞∠ACB=∠ADE，
必须令∠EOF=∠EAD，此时有△EOF∽△EAD，
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{OF}{AD}$
∵EB是Rt△ADE斜边的中线，
∵BE=AB，
∴∠BEA=∠EAD，
∴∠EOF=∠BEA，
∴OF∥BE，
$\frac{OC}{CE}=\frac{OF}{BE}=\frac{2OF}{AD}$
∴$\frac{OC}{CE}=\frac{2OE}{AE}$，
即$\frac{5}{5+x}=\frac{2x}{5-x}$，
解得x=$\frac{-15±5\sqrt{17}}{4}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{-15+5\sqrt{17}}{4}$，
②60°＜$\widehat{AB}$的度数＜90°时，点E在O点的左侧，
若∠EOF=∠B，则OF∥AD，
∴OF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{4}$AD，
∴$\frac{OF}{AD}=\frac{OE}{AE}=\frac{1}{4}$，
即$\frac{-x}{5-x}=\frac{1}{4}$，解得x=-$\frac{5}{3}$，
若∠EOF=∠ACB，则x=-$\frac{5}{2}$，
综上，点E的坐标为（$\frac{-15+5\sqrt{17}}{4}$，0）、（-$\frac{5}{3}$，0）、（-$\frac{5}{2}$，0）

点评 此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理，圆的性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解本题的关键是分情况讨论计算点E的坐标．