Question

14．如图△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CB延长线上的点，且AD=BE，连CD，EA，直线CD、EA交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）作EH⊥AB于H，则$\frac{DH}{BH}$=n时，△DFA为等腰三角形，求出n的值；
（3）若D在AB上，AD=3BD，连CD，作∠BCM=∠ADC，CM=CD，连AM交BC于P，则BP：CP的值为3：5．

Answer 1

分析 （1）先证明△CAD≌△ABE，推出∠DCA=∠BAE，由∠EAC=∠EFC+∠FCA=∠CAB+∠BAE，推出∠EFC=∠CAB=60°即可解决问题．
（2）如图2中，由题意可知∠FDA=∠FAD=∠EAH=∠AEB=30°，设BH=a则BE=AB=AD=2a，推出DH=2a+2a+a=5a，推出n=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{5a}{a}$=5．
（3）如图3中，在BC上截取BN=BD，则AD=CN．想办法证明四边形ACMN是平行四边形即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=60°，
∴∠CAD=∠ABE=120°，
在△CAD和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAD=∠ABE}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△ABE，
∴∠DCA=∠BAE，
∵∠EAC=∠EFC+∠FCA=∠CAB+∠BAE，
∴∠EFC=∠CAB=60°，
∴∠DFE=180°-∠CFE=120°．

（2）如图2中，

∵△DAF是等腰三角形，∠DFA=120°，
∴∠FDA=∠FAD=∠EAH=∠AEB=30°，设BH=a则BE=AB=AD=2a，
∴DH=2a+2a+a=5a，
∴n=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{5a}{a}$=5．

（3）如图3中，

在BC上截取BN=BD，则AD=CN．
在△CAD和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CA}\\{∠ACN=∠CAN}\\{AD=CN}\end{array}\right.$，
∴∠ADC=∠CNA，
∵∠MCN=∠CDA，
∴∠MCN=∠ANC，
∴MC∥AN，
在△MCN和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=CD}\\{∠MCN=∠CDA}\\{CN=AD}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△CDA，
∴MN=AC，∠CNM=∠DAC=∠ACN，
∴AC∥MN，
∴四边形ACMN是平行四边形，
∴PC=PN，
∵AD=3BD，AD=CN，BD=BN，
∴CN=3BN，
∴CP：PB=3：5，
故答案为3：5．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．