Question

20．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC中点，AD∥BC（D为格点），请按要求完成下列各题：
（1）通过计算说明△ABC是直角三角形；
（2）F为AD中点，四边形AECF是什么特殊的四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AB²+AC²=BC²，由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由勾股定理求出AD、AE、CE、CF，得出AF，AE=CE=CF=AF，由菱形的判定定理即可得出结论．．

解答 （1）证明：由勾股定理得：
AB²=1²+1²=2，AC²=3²+3²=18，BC²=4²+2²=20，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：四边形AECF是菱形；理由如下：
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
CE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，CF=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵F为AD中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形．

点评 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、菱形的判定定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理求出有关线段的长度得出数量关系是解决问题的关键．