Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=7cm，AC=24cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，设经过了x秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：
（1）PC=

 

cm，QC=

 

cm（用含x的代数式表示）；
（2）经过多少时间，△PCQ的面积为15cm²；
（3）经过多少时间，△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,二次函数的最值

专题：几何动点问题

分析：（1）利用x表示出PC、CQ的长，依此即可求解
（2）设运动时间为x秒，根据三角形的面积公式表示出△PCQ的面积，令其等于15即可列出关于x的方程，解方程即可；
（3）利用（2）中所求表达式，根据二次函数的性质求出最大值即可．

解答：解：（1）PC=（7-2x）cm，QC=5xcm；

（2）依题意得：

1

2

(7-2x)•5x=15…（3分）
整理得：2x²-7x+6=0
解得：x1=

3

2

，x₂=2
经检验，x1=

3

2

，x₂=2符合题意
答：经过

3

2

秒或2秒，△PCQ的面积为15cm²；

（3）设△PCQ的面积为S
则S=

1

2

(7-2x)•5x=-5(x-

7

4

)2+

245

16

∵0≤x＜

7

2

∴当x=

7

4

时，△PCQ的面积最大，最大面积是

245

16

．
故答案为：（7-2x）；5x．

点评：本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的最值及三角形的面积，用时间表示出三角形各边长度是解题的关键．