Question

对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．
（1）证明：∠ABE=30°；
（2）证明：四边形BFB′E为菱形．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,菱形的判定,矩形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据点M是AB的中点判断出A′是EF的中点，然后判断出BA′垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BE=BF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠A′BE=∠A′BF，根据翻折的性质可得∠ABE=∠A′BE，然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证；
（2）根据翻折变换的性质可得BE=B′E，BF=B′F，然后求出BE=B′E=B′F=BF，再根据四条边都相等的四边形是菱形证明．

解答：证明：（1）∵对折AD与BC重合，折痕是MN，
∴点M是AB的中点，
∴A′是EF的中点，
∵∠BA′E=∠A=90°，
∴BA′垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴∠A′BE=∠A′BF，
由翻折的性质，∠ABE=∠A′BE，
∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF，
∴∠ABE=

1

3

×90°=30°；

（2）∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，
∴BE=B′E，BF=B′F，
∵BE=BF，
∴BE=B′E=B′F=BF，
∴四边形BFB′E为菱形．

点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的判定，熟记各性质并准确识图判断出BA′垂直平分EF是解题的关键，也是本题的难点．