Question

如图，已知梯形ABCD中AD∥BC，AB=DC，对角线AC平分∠BCD，AC⊥AB，且梯形的周长是20，求AC的长．

Answer 1

分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，然后得到∠2=∠3，根据等角对等边可得AD=CD，再根据等腰梯形同一底上的两底角相等求出∠B=2∠1，然后利用直角三角形两锐角互余求出∠1=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2AB，再根据梯形的周长是20求出AB的长，从而得到BC的长，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AD=CD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠BCD=2∠1，
又∵AC⊥AB，
∴∠1+∠B=90°，
即∠1+2∠1=90°，
解得∠1=30°，
∴BC=2AB，
∵梯形的周长是20，
∴AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB+AB=5AB=20，
解得AB=4，
∴BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

82-42

=4

3

．

点评：本题考查了梯形的性质，主要利用了角平分线的定义，平行线的性质，等腰梯形同一底上的两底角相等的性质，以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，求出△ABC是有一个角是30°的直角三角形是解题的关键，利用弧线加阿拉伯数字表示角更直观．