Question

如图所示，以Rt△ABC的一条直角边AB为直径作⊙O，与AC交于点F，在AB的延长线上取一点E，连接EF与BC交于点D，且使得DF=CD．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）如果sin∠A=

1

2

，AE=

3

，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OF．根据DF=CD和OF=OA得到∠C=∠CFD，∠A=∠AFO．根据Rt△ABC得到∠A+∠C=90°，从而得到∠CFD+∠AFO=90°，从而证明切线；
（2）作FG⊥AE于G．根据sin∠A=

1

2

，得到∠A=30°，根据圆周角定理得到∠EOF=60°，则∠OEF=30°，从而得到等腰三角形AEF．根据等腰三角形的三线合一得到AG=EG=

3

2

，在直角三角形AFG中，进而求得AF的长．

解答：（1）证明：连接OF．
∵DF=CD，OF=OA
∴∠C=∠CFD，∠A=∠AFO．
又△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠CFD+∠AFO=90°，
∴∠OFE=90°，
∴FE是⊙O的切线；

（2）解：作FG⊥AE于G．
∵sin∠A=

1

2

，
∴∠A=30°，
∴∠EOF=60°，
∴∠OEF=30°，
∴AF=EF，
又FG⊥AE，
∴AG=EG=

3

2

，
∴AF=

AG

cosA

=1．

点评：此题综合运用了切线的判定、等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的知识．连接过切点的直线是圆中常见的辅助线之一．