Question

14£®Ò»°ãµØ£¬ÔÚRt¡÷ABCÖУ¬¡ÏC=90¡ã£¬ÎÒÃÇ°ÑÈñ½ÇAµÄ¶Ô±ßÓëб±ßµÄ±È½Ð×ö¡ÏAµÄÕýÏÒ£¬¼Ç×÷¡°sinA¡±£¬¼´$sinA=\frac{¡ÏAµÄ¶Ô±ß}{б±ß}$£®ÀàËƵģ¬ÎÒÃǶ¨Ò壺ÔÚµÈÑüÈý½ÇÐÎÖУ¬µ×±ßÓëÑüµÄ±È½Ð×ö¶¥½ÇµÄÕý¶Ô£®Èçͼ1£¬ÔÚ¡÷ABCÖУ¬AB=AC£¬¶¥½ÇAµÄÕý¶Ô¼Ç×÷sadA£¬¼´sadA=$\frac{µ×±ß}{Ñü}=\frac{BC}{AB}$£®¸ù¾ÝÉÏÊö½ÇµÄÕý¶Ô¶¨Ò壬Íê³ÉÏÂÁÐÎÊÌ⣺
£¨1£©sad60¡ã=1£»
£¨2£©ÒÑÖª£ºÈçͼ2£¬ÔÚRt¡÷ABCÖУ¬¡ÏC=90¡ã£¬sinA=$\frac{3}{5}$£¬ÊÔÇósadAµÄÖµ£»
£¨3£©ÒÑÖª£ºÈçͼ3£¬ÔÚƽÃæÖ±½Ç×ø±êϵxOyÖУ¬A£¨0£¬2£©£¬B£¨$4\sqrt{2}$£¬0£©£¬µãCΪÏ߶ÎABÉÏÒ»µã£¨²»ÓëµãBÖغϣ©£¬ÇÒ$AC¡Ý\frac{1}{2}AB$£¬ÒÔACΪµ×±ß×÷µÈÑü¡÷ACP£¬µãPÂäÔÚÖ±ÏßABÉÏ·½£¬
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¢Úµ± sad¡ÏAPC=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$ʱ£¬ÇëÖ±½Óд³öµãPµÄºá×ø±êxµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

Answer 1

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£¨2£©¸ù¾ÝRt¡÷ABCÖУ¬¡ÏC=90¡ã£¬sinA=$\frac{3}{5}$£¬¹¹ÔìÒÔ¡ÏAΪ¶¥½ÇµÄµÈÑüÈý½ÇÐΣ¬È»ºó¸ù¾ÝÌâÒâ¿ÉÒÔ½â´ð±¾Ì⣮
£¨3£©¢Ù½áÂÛ£ºPC¡ÍxÖᣬֻҪ֤Ã÷¡ÏOAB=¡ÏPCE¼´¿É£®
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½â´ð £¨1£©¡ß¶¥½ÇΪ60¡ãµÄµÈÑüÈý½ÇÐÎÊǵȱßÈý½ÇÐΣ¬
¡àsad60¡ã=$\frac{µ×±ß}{Ñü}$=$\frac{1}{1}$=1£®
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¡ßRt¡÷ABCÖУ¬¡ÏC=90¡ã£¬sinA=$\frac{3}{5}$£¬
¡àDE=AD•sinA=4a¡Á$\frac{3}{5}$=$\frac{12}{5}$a£¬AE=AD•cosA=4a¡Á$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$a£®
¡àCE=AC-AE=4a-$\frac{16}{5}$a=$\frac{4}{5}$a£®
¡àCD=$\sqrt{C{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{£¨\frac{4}{5}a£©^{2}+£¨\frac{12}{5}a£©^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$a£¬£®
¡àsadA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{10}}{5}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$£®
¼´sadA=$\frac{\sqrt{10}}{5}$£®

£¨3£©¢Ù½áÂÛ£ºPC¡ÍxÖᣬ
ÀíÓÉ£ºÈçͼ3ÖУ¬×÷PE¡ÍACÓÚE£®
¡ßPA=PC£¬
¡àAE=EC£¬
¡ßsadAPC=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{2}{3}$£¬
¡à$\frac{2EC}{PC}$=$\frac{2}{3}$£¬
¡àcos¡ÏPCE=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{1}{3}$£®
ÔÚRt¡÷AOBÖУ¬¡ß¡ÏAOB=90¡ã£¬OA=2£¬OB=4$\sqrt{2}$£¬
¡àAB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}£¨4\sqrt{2}£©^{2}}$=6£¬
¡àcos¡ÏOAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$£¬
¡àcos¡ÏPCE=cos¡ÏOAB£¬
¡à¡ÏOAB=¡ÏPCE£¬
¡àPC¡ÎyÖᣬ
¡àPC¡ÍxÖᣮ

¢ÚÈçͼ4ÖУ¬µ±µãCÊÇABÖеãʱ£¬×÷PE¡ÍABÓÚE£¬½»xÖáÓÚM£®×÷PN¡ÍxÖáÓÚN£®
¡ßsad¡ÏAPC=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{2EC}{PC}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$£¬
¡à$\frac{1.5}{PC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$£¬
¡àPC=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$£¬PE=$\sqrt{P{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$£¬
¡ß¡ÏEBM=¡ÏABO£¬¡ÏMEB=¡ÏAOB=90¡ã£¬
¡à¡÷BEM¡×¡÷BOA£¬
¡à$\frac{EB}{BO}$=$\frac{EM}{AO}$=$\frac{BM}{AB}$£¬¡ÏEMB=¡ÏOAB£¬
¡àEM=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$£¬BM=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$£¬
¡àPM=PE+EM=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$£¬OM=OB-MB=$\frac{11\sqrt{2}}{8}$£¬
¡ß¡ÏPNM=¡ÏAOB£¬¡ÏPMN=¡ÏOAB£¬
¡à¡÷PNM¡×¡÷BOA£¬
¡à$\frac{PM}{AB}$=$\frac{MN}{AO}$£¬
¡àMN=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$£¬
¡àON=$\frac{43\sqrt{2}}{24}$£¬
¡àµãPµÄºá×ø±êΪ$\frac{43\sqrt{2}}{24}$£¬
µ±µãC¡äÓëBÖغÏʱ£¬×÷P¡äK¡ÍOB£¬PG¡ÍABÓÚG½»OBÓÚH£®
¡ßsad¡ÏAP¡äB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{AB}{P¡äB}$=$\frac{2GB}{P¡äB}$£¬
¡àP¡äB=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$£¬P¡äG=$\sqrt{P¡ä{B}^{2}-G{B}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$£¬
ÓÉ¡÷BGH¡×¡÷BOAµÃµ½£¬$\frac{GH}{AO}$=$\frac{GB}{BO}$=$\frac{BH}{AB}$£¬
¡àGH=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$£¬BH=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$£¬OH=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$£¬
¡àP¡äH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$£¬
ÓÉ¡÷P¡äKH¡×¡÷BOAµÃµ½£¬$\frac{HK}{AO}$=$\frac{P¡äH}{AB}$£¬
¡àHK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$£¬
¡àOK=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$£¬
¡àµãP¡äµÄºá×ø±êΪ$\frac{9\sqrt{2}}{4}$£®
¡àµ± sad¡ÏAPC=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$ʱ£¬µãPµÄºá×ø±êxµÄÈ¡Öµ·¶Î§Îª$\frac{43\sqrt{2}}{24}$¡Üx£¼$\frac{9\sqrt{2}}{4}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²é½âÖ±½ÇÈý½ÇÐΣ¬µÈÑüÈý½ÇÐεÄÐÔÖÊ¡¢¹´¹É¶¨Àí¡¢ÏàËÆÈý½ÇÐεÄÅж¨ºÍÐÔÖʵÈ֪ʶ£¬½âÌâµÄ¹Ø¼üÊÇÄÜÀí½âж¨Ò壬ѧ»áÌí¼Ó³£Óø¨ÖúÏߣ¬¹¹ÔìÖ±½ÇÈý½ÇÐΣ¬Ñ§»á¿¼ÂÇÌØÊâλÖýâ¾öÎÊÌ⣬ÊôÓÚÖп¼Ñ¹ÖáÌ⣮