Question

已知关于x的方程x²+3x+m=0．如果该方程有两个实数根，那么m的值可以是    （任写一个）；如果m取使方程x²+3x+m=0有两个实数根的最大整数，且方程x²+mx+n=0的两个实数根x₁、x₂满足x₁²+x₂²＞1，那么n的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据关于x的方程x²+3x+m=0有两个实数根得出m的取值范围，在取值范围内写出任意一个实数即可；
找出m的最大整数解，由根与系数的关系用n表示出x₁、x₂与x₁、x₂的值，代入x₁²+x₂²＞1，求出n的取值范围即可．
解答：解：∵于x的方程x²+3x+m=0有两个实数根，
∴△=9-4m≥0，
∴m≤，
∴m可以是1，m的最大整数值为2；
∴方程x²+mx+n=0可化为方程x²+2x+n=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=n，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=4-2n
又∵x₁²+x₂²＞1，
∴4-2n＞1，解得n＜．
故答案为：1（答案不唯一）；n＜．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，属开放性题目，答案不唯一．