Question

5．如图，已知点D为OB上的一点，按下列要求进行作图．
（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a；
（3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使得PE=PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP与∠ODP的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OC即可；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a；
（3）以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E₂，连接PE₂，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，利用HL证明△E₂PM≌△DPN，得出∠OE₂P=∠ODP，再根据平角的定义即可求解．

解答 解：（1）如图，OC即为所求；

（2）如图，OP=a；

（3）∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E₂，连接PE₂，作PM⊥OA于M，
PN⊥OB于N，则PM=PN．
在△E₂PM和△DPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{P{E}_{2}=PD}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△E₂PM≌△DPN（HL），
∴∠OE₂P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OA于另一点E₁，连接PE₁，
则此点E₁也符合条件PD=PE₁，
∵PE₂=PE₁=PD，
∴∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，
∵∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，
∵∠OE₂P=∠ODP，
∴∠OE₁P+∠ODP=180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．

点评 本题主要考查了角平分线的作法，作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需要熟练掌握，另外还考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．