Question

17．已知二次函数y=x²+bx+3（b为常数），若在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为-1，求该二次函数的解析式．

Answer 1

分析 由抛物线的解析式可知其对称轴为x=-$\frac{b}{2}$，开口向上，由题意可知：-$\frac{b}{2}$有三种情况，分三种情况讨论其b、c的值．

解答 解：由题意可知抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2}$，开口方向向上，
当-$\frac{b}{2}$≤1时，
即b≥-2，
此时x=1时，y可取得最小值-1，
∴-1=1+b+3，
∴b=-5，不符合题意；
当1＜$-\frac{b}{2}$＜3时，
即-6＜b＜-2，
∴此时x=-$\frac{b}{2}$，y的最小值为-1，
∴-1=$\frac{{b}^{2}}{4}$-$\frac{{b}^{2}}{2}$+3，
∴b=±4，
∴b=-4，
此时二次 函数的解析式为：y=x²-4x+3
当$-\frac{b}{2}$≥3时，
即：b≤-6，
此时x=3时，y的最小值为-1，
∴-1=9+3b+3，
∴b=-$\frac{13}{3}$，不符合题意，
综上所述，二次函数的解析式为y=x²-4x+3；

点评 本题考查待定系数法求解析式，涉及分类讨论的思想．