Question

如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=2x+1经过抛物线上一点B（m，-3），且与y轴、直线x=2分别交于点D，E．
（1）求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成y=a（x-h）²+k的形式；
（2）求证：CD⊥BE；
（3）在对称轴x=2上是否存在点P，使△PBE是直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标，并求出△PAB的面积；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵已知抛物线的对称轴为x=2，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+k，
又∵直线y=2x+1经过点B（m，-3），
∴-3=2m+1，解得，m=-2，
∴点B（-2，-3），
又∵二次函数y=a（x-2）²+k的图象经过0（0，0），B（-2，-3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．

（2）证明：由题意解方程组，
得
∴点E的坐标为（2，5），∴CE=5．
过点B作BF垂直于x轴于F，作BH垂直于直线x=2于H，交y轴于点Q，
∵点B（-2，-3），D（0，1），
∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4．
在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中，
由勾股定理得BE=，BD=，BC=
∴BD=BE，
又∵EC=5，
∴BC=CE，
∴CD⊥BE．

（3）解：结论：存在点P，使△PBE是直角三角形．
①当∠BPE=90°时，点P与（2）中的点H重合，
∴此时点P的坐标为（2，-3）；
延长BH与过点A（4，0）且与x轴垂直的直线交于M，
则；
②当∠EBP=90°时，设点P（2，y），
∵E（2，5），H（2，-3），B（-2，-3）），
∴BH=4，EH=8，PH=-3-y．
在Rt△PBE中，BH⊥PE，
可证得△BHP∽△EHB，，即，
解得y=-5，
此时点P的坐标为（2，-5）．
过点P与x轴平行的直线与FB的延长线交于点N，
则．
综合①，②知点P的坐标为（2，-3），△PAB的面积为6；或点P的坐标为（2，-5），△PAB的面积为12．
分析：（1）由对称轴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+k，由直线y=2x+1经过点B（m，-3），可以求出m的值，求出B点的坐标，从而可以求出抛物线的解析式．
（2）利用直线BE的解析式和对称轴求出E的坐标，求出CE的值，过点B作BF垂直于x轴于F，作BH垂直于直线x=2于H，交y轴于点Q，利用勾股定理可以求得△BCE是等腰三角形，且BD=DE，由等腰三角形的性质就得出结论．
（3）①当∠BPE=90°时，点P与（2）中的点H重合，可以求出P点的坐标，△PAB的面积；当∠EBP=90°时，设点P（2，y），利用△BHP∽△EHB可以求出点P的坐标，从而求出△PAB的面积．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，勾股定理的运用，相似三角形的判定与性质．