Question

如图，⊙O₁与⊙O内切于点A，△ABC内接于⊙O，AB、AC分别交⊙O₁于点E和F，BD切⊙O₁于点D，且FD是⊙O₁的直径，延长FE交BD于点H．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若∠DBC=60°，，求的值．

Answer 1

证明：（1）如图，过点A作两圆的公切线MN，
∵∠EFA=∠EAM，∠BCA=∠BAM，
∴∠EFA=∠BCA，
∴EF∥BC．

（2）由条件，不妨设DH=4k，
则HB=5k，DB=9k，
连接DE并延长交BC于点G，
∵DF为⊙O₁的直径，
∴DE⊥HF，∠DEH=90°，
∵EF∥BC．
∴∠DGB=∠DEH=90°，
∴==，
而∠DBG=60°，
∴BG=DB=k，DG=DB=k，
∴EG=DG=k，
在Rt△BGE中，BE²=BG²+EG²=39k²，
∵BD是⊙O₁的切线，
∴BD²=BE•BA，
∴===，
∴=1-=．
分析：（1）过点A作两圆的公切线MN，根据切割线定理可得出∠EFA=∠BCA，继而可证明结论EF∥BC；
（2）连接DE并延长交BC于点G，DH=4k，则HB=5k，DB=9k，根据∠DBC=60°利用解直角三角形的知识，可得出BG、DG的长度，然后表示出BE的长度，根据=1-，即可得出答案．
点评：本题属于圆的综合题，涉及了切割线定理、平行线的判定、勾股定理及切线的性质，考察的知识点较多，解答本题的关键是要求同学们熟练掌握所学的定理及性质，对于这样的综合性题目，除了要求我们仔细思考之外，更考察我们的灵活运用能力．