Question

已知如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点C，点D的坐标分别为（0，4），（5，0），

OC

OA

=

1

2

，点P在BC边上运动（不与B，C重合），当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为：

（2，4）或（3，4）或（8，4）

．

Answer 1

分析：求出OA、BC，求出的P点的横坐标必须小于BC的长10，根据矩形的性质得出P的纵坐标是4（和C的纵坐标相等），分为两种情况：①当OP=OD=5时，在Rt△OCP中，由勾股定理求出CP即可；②当DP=OD=5时有P和P′两点，过D作DE⊥CB于E，由勾股定理求出PE，求出CP、CP′即可．

解答：解：∵C（0，4）D（5，0），
∴OC=4，OD=5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，∠PCO=90°，
∵

OC

OA

=

1

2

，C（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=10，BC∥OA，
∴B（10，4），
分为两种情况：①当OP=OD=5时，在Rt△OCP中，由勾股定理得：CP=

52-42

=3，
即P的坐标是（3，4）；
②以D为圆心，以5为半径作弧，交CB于P、P′，此时DP=DP′=5=OD，过D作DE⊥CB于E，
∵在Rt△EDP中，DE=OC=4，由勾股定理得：PE=

52-42

=3，
∴CP=5-3=2＜BC，
∵P在BC上，BC∥OA，B（10，4），
∴P的坐标是（2，4）；
当在P′处时，CP′=5+3=8＜BC，
∵P′在BC上，BC∥OA，B（10，4），
此时P′的坐标是（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．

点评：本题考查学生知识点是等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、坐标和图形变换等，注意：应进行分类讨论，题目比较好，难度适中．