Question

如图，已知抛物线对称轴为直线x=4，且与x轴交于A、B两点（A在B左侧），B点坐标为（6，0），过点B的直线与抛物线交于点C（3，

9

4

）．
（1）写出点A坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）在抛物线的BC段上，是否存在一点P，使得四边形ABPC的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值，△MNB为等腰三角形，写出计算过程．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的对称性，利用点B的坐标与对称轴求解；
（2）利用待定系数法求二次函数解析式列式计算即可得解；
（3）假设存在，根据抛物线解析式设点P的坐标为（x，-

3

4

x²+6x-9），过点C作CE⊥AB于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，则S_{四边形ABPC}=S_△ACE+S_梯形CEFP+S_△BPF，再根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（4）根据A、B的坐标求出AB的长度，根据勾股定理求出BC的值，再分①BN=MN时，过点N作ND⊥BM于点D，然后利用∠ABC的余弦列式计算即可得解，②BN=BM时，用t表示出BM、BN，列出方程计算即可得解，③BM=MN时，过点M作MH⊥BN于点H，然后利用∠ABC的余弦列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵B点坐标为（6，0），抛物线对称轴为直线x=4，
4×2-6=2，
∴点A的坐标为（2，0）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），B（6，0），C（3，

9

4

），
∴

4a+2b+c=0 36a+6b+c=0 9a+3b+c= 9 4

，
解得

a=- 3 4 b=6 c=-9

，
∴抛物线解析式为y=-

3

4

x²+6x-9；

（3）存在．理由如下：
如图，设存在点P（x，-

3

4

x²+6x-9），使得四边形ABPC的面积最大，
过点C作CE⊥AB于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，
∵A（2，0），B（6，0），C（3，

9

4

），
∴S_{四边形ABPC}=S_△ACE+S_梯形CEFP+S_△BPF
=

1

2

×（3-2）×

9

4

+

1

2

（

9

4

-

3

4

x²+6x-9）×（x-3）+

1

2

×（6-x）×（-

3

4

x²+6x-9）
=

9

8

+

9

8

（x-3）+

1

2

（-

3

4

x²+6x-9）×（x-3）+

1

2

×（6-x）×（-

3

4

x²+6x-9）
=-

9

8

（x²-9x+14）
=-

9

8

（x-

9

2

）²+

225

32

，
∵3＜

9

2

＜6，
∴当x=

9

2

时，四边形ABPC的面积有最大值，最大值为

225

32

，
此时，-

3

4

x²+6x-9=-

3

4

×（

9

2

）²+6×

9

2

-9=

45

16

，
∴点P的坐标为（

9

2

，

45

16

）；

（4）∵A（2，0），B（6，0），
∴AB=6-2=4，
∵B（6，0），C（3，

9

4

），
∴BC=

(6-3)2+( 9 4 )2

=

15

4

．
①BN=MN时，如图，过点N作ND⊥BM于点D，则BD=MD=

1

2

（4-t），
cos∠ABC=

1 2 (4-t)

2t

=

6-3

15 4

，
解得t=

20

21

，
②BN=BM时，如图，BM=4-t，BN=2t，
所以，4-t=2t，
解得t=

4

3

，
③BM=MN时，如图，过点M作MH⊥BN于点H，
则BH=

1

2

BN=

1

2

×2t=t，
BM=4-t，
cos∠ABC=

t

4-t

=

6-3

15 4

，
解得t=

16

9

，
综上所述，当t为

20

21

或

4

3

或

16

9

秒时，△MNB为等腰三角形．

点评：本题综合考查了二次函数，主要利用了二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，不规则图形的面积的求解，二次函数的最值问题，以及等腰三角形的性质，（3）运算量比较大，计算时要认真仔细，（4）要根据等腰三角形腰的不同分情况讨论．