Question

已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC²=AC•BC，则∠ABC的度数是________度．

Answer 1

15或75
分析：由于AB是⊙O的直径，因此∠ACB为直角三角形．过C作AB的垂线，设垂足为D，根据三角形面积的不同表示方法，可得出AC•BC=AB•CD．由于AB=2OC，可据此求出OC=2CD．在Rt△OCD中，通过解直角三角形即可求出∠COD的度数，进而可求出∠ABC的度数．
解答：解：如图1，过C作CD⊥AB于D．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC•BC=AB•CD．
∴OC²=AB•CD=2OC•CD，
∴OC=2CD．
在Rt△OCD中，OC=2CD，∴∠COD=30°．
∴∠ABC=（180°-30°）÷2=75°．
同理可求得图2中，∠ABC=15°．
∴∠ABC的度数为15°或75°．
点评：本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形等知识的应用．