Question

19．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点M是AB的中点，点N是BC上的一动点，连接AN交DM，BD于点E、F．
（1）若BN=NC，如图1，
①求证：FN=$\frac{1}{2}$AF；
②求EF；
（2）若BN=2NC，如图2，直接写出AE：EF：FN=15：9：16（不用说明理由）

Answer 1

分析 （1）①根据BN∥AD，得出△AFD∽△NFB，再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到$\frac{FN}{FA}$=$\frac{1}{2}$，据此可得FN=$\frac{1}{2}$AF；
②下根据①中的结论得到AF=$\frac{2}{3}$AN=$\frac{10}{3}$，再延长DM交CB的延长线于G，根据△AED∽△NEG，求得AE=$\frac{2}{5}$AN=2，最后根据EF=AF-AE进行计算即可；
（2）先根据△AFD∽△NFB，求得FN=$\frac{2}{5}$AN，再延长DM交CB的延长线于G，根据△AED∽△NEG，求得AE=$\frac{3}{8}$AN，进而得到EF=AN-AE-FN=AN-$\frac{3}{8}$AN-$\frac{2}{5}$AN=$\frac{9}{40}$AN，最后根据AE：EF：FN=$\frac{3}{8}$：$\frac{9}{40}$：$\frac{2}{5}$进行化简即可．

解答 解：（1）①∵BN∥AD，
∴△AFD∽△NFB，
∴$\frac{FN}{FA}$=$\frac{BN}{DA}$，
∵BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴$\frac{BN}{DA}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{FN}{FA}$=$\frac{1}{2}$，
∴FN=$\frac{1}{2}$AF；
②∵AB=4，BC=6，点M是AB的中点，
∴BN=3，AN=5，
∵$\frac{BN}{DA}$=$\frac{FN}{FA}$=$\frac{1}{2}$，
∴FN=$\frac{1}{2}$AF，即AF=$\frac{2}{3}$AN=$\frac{10}{3}$，
如图1，延长DM交CB的延长线于G，则
∵AD∥GB，
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AM}{BM}$=1，
∴AD=BG=2BN，即$\frac{AD}{GN}$=$\frac{2}{3}$，
∵AD∥GN，
∴△AED∽△NEG，
∴$\frac{AE}{NE}$=$\frac{AD}{NG}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{2}{5}$AN=2，
∴EF=AF-AE=$\frac{10}{3}$-2=$\frac{4}{3}$；

（2）∵AD∥BN，
∴△AFD∽△NFB，
∴$\frac{FN}{FA}$=$\frac{BN}{DA}$，
又∵BN=2NC，
∴BN=$\frac{2}{3}$BC=4，而AD=6，
∴$\frac{FN}{FA}$=$\frac{2}{3}$，即FN=$\frac{2}{5}$AN，
如图2，延长DM交CB的延长线于G，则
∵AD∥GB，
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AM}{BM}$=1，
∴AD=BG=6，GN=6+4=10，
∵AD∥GN，
∴△AED∽△NEG，
∴$\frac{AE}{NE}$=$\frac{AD}{NG}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{3}{8}$AN，
∴EF=AN-AE-FN=AN-$\frac{3}{8}$AN-$\frac{2}{5}$AN=$\frac{9}{40}$AN，
∴AE：EF：FN=$\frac{3}{8}$：$\frac{9}{40}$：$\frac{2}{5}$=15：9：16．
故答案为：15：9：16．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例进行求解．