Question

17．如图，抛物线y=ax²-3ax+5交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，且2OB=5OA
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于D，过点P作y轴的平行线交x轴于E，过点D作DF⊥PE，垂足为F，连接AF交y轴于G，设P点的横坐标为m，线段OG的长度为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若PB=AF，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）设A（m，0），B（n，0），由题意2n=-5m，m+n=3，解方程组求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可求出a．
（2）设P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+5）则E（m，0），由△PDF∽△PAE，得$\frac{PF}{PE}$=$\frac{DF}{AE}$，求出PF，EF，于△AOG∽△AEF，得$\frac{AO}{AE}$=$\frac{OG}{EF}$，即可求出OG．
（3）只要证明△AEF≌△PEB，得AE=PE，可得2+m=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+5，解方程即可解决问题．

解答 解：（1）设A（m，0），B（n，0），
∴OA=-m，OB=n，
∵20B=5OA，
∴2n=-5m  ①，
∵m+n=3  ②，
由①②解得m=-2，n=5，
∴A（-2，0），B（5，0），
把A（-2，0）代入y=ax²-3ax+5得到，a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5．

（2）设P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+5）则E（m，0），
∵DF⊥PE，AE⊥PE
∴DF∥AE
∴△PDF∽△PAE，
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{DF}{AE}$，
∴$\frac{PF}{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+5}$=$\frac{m}{m+2}$，
∴PF=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m，
∴EF=PE-PF=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+5-（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m）=5-m，
∵OG∥EF，
∴△AOG∽△AEF，
∴$\frac{AO}{AE}$=$\frac{OG}{EF}$，
∴$\frac{2}{m+2}$=$\frac{d}{5-m}$，
∴d=$\frac{10-2m}{m+2}$．

（3）∵B（5，0），
∴BE=5-m，∵EF=5-m，
∴BE=EF，
∵PB=AF，∠AEF=∠PEB=90°，
∴△AEF≌△PEB，
∴AE=PE，
∴2+m=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+5，
∴m²-m-6=0，
∴（m-3）（m+2）=0，
∴m=3或-2（舍弃），
∴P（3，5）．

点评 本题考查二次函数综合题、根与系数关系、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数解决问题，善于寻找相似三角形或全等三角形解决问题，善于中考压轴题．