Question

19．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△ADE的位置，连接BD并延长交AE于F．
（1）求线段BD的长；
（2）求在旋转过程中所形成的$\widehat{CD}$，$\widehat{BE}$与线段BC，DE所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）如图，作辅助线；首先运用勾股定理求出AB的长度；证明△ABE是等边三角形，进而证明B、D两点均在线段AE的中垂线上，得到∠BFA=90°，此为解决问题的关键性结论；运用直角三角形的边角关系即可解决问题．
（2）运用分割转化的数学思想，将阴影部分的面积转化为S_扇形ABE与S_扇形ADC的之差，借助扇形的面积公式，即可解决问题．

解答 解：（1）连接BE．
∵∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$
∴∠BAC=∠ABC=45°，$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=2$；
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE，
∴AE=AB=2，DE=AD=AC=$\sqrt{2}$，
∠BAE=∠CAD=60°，∠DAE=∠BAC=45°；
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，
∴B、D两点均在线段AE的中垂线上，
∴∠BFA=90°，
∴DF=AD•sin∠DAE=1，BF=AB•sin∠BAE=$\sqrt{3}$，
∴BD=BF-DF=$\sqrt{3}-1$．
（2）由旋转变换可知，△ABC≌△AED，
∴S_△ABC=S_△AED，
∴S_阴影=S_扇形ABE+S_△ABC-S_△AED-S_扇形ADC
=S_扇形ABE-S_扇形ADC
=$\frac{60π•{2}^{2}}{360}-\frac{60π•（\sqrt{2}）^{2}}{360}$
=$\frac{4}{6}π-\frac{2}{6}π$
=$\frac{1}{3}π$．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、扇形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理、扇形的面积公式等几何知识点来分析、判断、解答．