Question

7．已知，如图，在正方形ABCD中，F是边CD的中点，点E在BC上，且AE=AD+CE．
（1）求证：AF平分∠DAE；
（2）若正方形改为矩形、菱形、平行四边形，还能证明AF平分∠DAE吗？

Answer 1

分析 （1）如图1，延长BC、AF交于一点G，构造△ADF≌△GCF，根据AE=AD+CE，得等腰三角形AEG，从而得出∠DAF=∠G=∠FAE；
（2）如图2、3、4所示，证明和（1）相同．延长BC、AF交于一点G，构造△ADF≌△GCF，得等腰三角形AEG，从而得出∠DAF=∠G=∠FAE；

解答 证明：（1）如图1，延长BC、AF交于一点G，
在△ADF和△GCF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠GCF=90°}\\{DF=CF}\\{∠AFD=∠GFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AD=CG，∠DAF=∠CGF，
∵EG=EC+CG，AE=AD+CE，
∴EG=AE，
∴∠FAE=∠EGF，
∴∠FAE=∠DAF，
即AF平分∠DAE；
（2）正方形改为矩形、菱形、平行四边形，能证明AF平分∠DAE，如图2、3、4所示，同（1）证明方法相同．

点评 本题考查了作辅助线构造三角形全等，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质；能够通过辅助线构造出全等形转移角和线段是解决问题的关键．