Question

14．【阅读新知】
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即：如图1，在△ABC中，已知AB=c，BC=a，CA=b，则有：
a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC
利用这个正确结论可求解下列问题：
例在△ABC中，已知a=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$$+\sqrt{2}$，求∠A．
解：∵a²=b²+c²-2bccosA，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}{2×2\sqrt{2}×（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠A=60°．
【应用新知】
（1）选择题：在△ABC中，已知b=ccosA，a=csinB，那么△ABC是C．
A．等边三角形   B．等腰三角形   C．等腰直角三角形   D．直角三角形
（2）如图2，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为2$\sqrt{3}$海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里．求此时C处到灯塔B的距离．

Answer 1

分析 （1）根据给出的公式和已知条件计算即可；
（2）求出∠ADC的度数，得到CA=CD=6，代入公式计算即可．

解答 解：（1）∵b=ccosA，a=csinB，
∴cosA=$\frac{b}{c}$，sinB=$\frac{a}{c}$，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bc×$\frac{c}{b}$=b^2-c²，
∴a²+c²=b²，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴a=csinB=c，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故选：C．

（2）∠ADC=180°-80°-50°=50°，
∴CA=CD=6，
BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=（2$\sqrt{3}$）²+6²-2×3$\sqrt{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
答：C处到灯塔B的距离为2$\sqrt{3}$海里．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．