Question

4．如图，在△AOB中，∠BOA=90°，∠BOA的两边分别与函数$y=-\frac{1}{x}$、$y=\frac{2}{x}$的图象交于B、A两点，若$AB=\sqrt{6}$，则AO的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²=2，根据勾股定理得出OA²+$\frac{1}{2}$OA²=6，即可求得OA．

解答 解：∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠CAO=90°，
∠CAO=∠BOD，
∴△ACO∽△BDO，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，S_△BOD=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
∴（$\frac{OA}{OB}$）²=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴OA²=2OB²，
∵OA²+OB²=AB²，
∴OA²+$\frac{1}{2}$OA²=6，
∴OA=2，
故选B．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，能够通过三角形系数找出OA和OB的关系是解题的关键．