Question

【题目】如图，平面直角坐标系中 是原点， 的顶点 的坐标分别是 ，点 把线段 三等分，延长 分别交 于点 ，连接 ，则下列结论：
① 是 的中点；② 与 相似；③四边形 的面积是 ；④ ；其中正确的结论是 ． （填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①③
【解析】如图，分别过点A、B作 于点N， 轴于点M，

在 中， ，
是线段AB的三等分点， ，
，
，
是OA的中点，故①正确；
，
不是菱形，
，
，
，
故 和 不相似，故②错误；
由①得，点G是AB的中点， 是 的中位线，
，
是OB的三等分点， ，
，
∴ ，
，∴四边形 是梯形，
，
故③正确；
,故④错误，
综上：①③正确，
故答案为：①③.
①根据题意证明△ODF∽△BDC，得出对应边成比例，再根据D、E是线段OB的三等分点，证得OF=BC=OA，即可证得结论；②延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；③利用面积差求得： 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；
④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论。