Question

15．已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；
（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；
（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据内切圆的定义得到AD、AB、CD为⊙O的切线，则根据切线长定理得∠ODA=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，再利用平行线的性质得∠ADC+∠BAC=180°，所以∠ODA+∠OAD=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠AOD的度数；
（Ⅱ）先在Rt△AOD中利用勾股定理可计算出AD=10（cm），再根据切线的性质得OE⊥AD，然后利用面积法可计算出OE的长；
（Ⅲ）直接根据直角三角形斜边上的中线性质求解．

解答 解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，
∴AD、AB、CD为⊙O的切线，
∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
即∠ODA=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAC=180°，
∴∠ODA+∠OAD=90°，
∴∠AOD=90°；
（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，
∴AD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm），
∵AD切⊙O于E，
∴OE⊥AD，
∴$\frac{1}{2}$OE•AD=$\frac{1}{2}$OD•OA，
∴OE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$（cm）；
（Ⅲ）∵F是AD的中点，
∴FO=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×10=5（cm）．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．