Question

【题目】如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，AB＝CD＝2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE＝∠DBC，

（1）求证：△ABE∽△BCD；

（2）求tan∠DBC的值；

（3）求线段BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）根据条件∠BAE＝∠DBC，再证明∠ABE＝∠C，可得出结论；（2）分别过点A、D向BC边作垂线段，垂足分别为点G、H，证明△ABG≌△DCH 得出BG=HC，然后求出BH=2，利用勾股定理求出HD，然后利用正切的定义计算即可；（3）根据△ABE∽△BCD求出BE=，利用勾股定理求出BD的长，再根据=，求出BF的长．

试题解析：（1）∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ABE＝∠C

又∵∠BAE＝∠DBC ∴△ABE∽△BCD

（2）分别过点A、D向BC边作垂线段，垂足分别为点G、H

∵AD∥BC ∴AG=DH, 矩形AGHD中AG=DH,

又∵AB=CD∴△ABG≌△DCH ∴BG=HC

∵AD＝1，BC＝3 ,GH =1∴HC=(3-1)÷2=1, BH=2

∴在Rt△HDC中, HD==

∴在Rt△BHD中, tan∠DBC==

（3）∵△ABE∽△BCD ∴

又∵BC＝3，AB＝CD＝2，∴BE=

∵AD∥BC , AD＝1，=

又∵BD==, ∴BF =