Question

【题目】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧 沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，过点O作OE⊥AC于E，

则AE= AC= ×2=1，

∵翻折后点D与圆心O重合，

∴OE= r，

在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，

即r2=12+（ r）2，

解得r=

（2）解：连接BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=25°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，

根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，

∴∠ADC+∠B=180°，

∴∠B=∠CDB=65°，

∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．

【解析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE= AC，再根据翻折的性质可得OE= r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据∠ACD等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解含30度角的直角三角形的相关知识，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，以及对垂径定理的理解，了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．