Question

如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D．
①若∠A=50°，则∠BDC=______．
②若∠A=90°，则∠BDC=______．
③若∠A=100°，则∠BDC=______．
④猜想∠BDC与∠A有何数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

解答：如图，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3+∠BDC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，
∴2∠1+2∠3+∠A=180°，
∴2（180°-∠BDC）+∠A=180°，
∴∠BDC=90°+∠A；
（1）当∠A=50°，∠BDC=90°+×50°=115°；
（2）当∠A=90°，∠BDC=90°+×90°=135°；
（3）当∠A=100°，∠BDC=90°+×100°=140°；
（4）∠BDC与∠A的数量关系为∠BDC=90°+∠A．理由如上．
分析：根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形内角和定理得到∠1+∠3+∠BDC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，利用等量代换得到2（180°-∠BDC）+∠A=180°，即有∠BDC=90°+∠A；
（1）把∠A=50°代入∠BDC=90°+∠A即可；
（2）把∠A=90°代入∠BDC=90°+∠A即可；
（3）把∠A=100°代入∠BDC=90°+∠A即可；
（4）∠BDC与∠A的数量关系为∠BDC=90°+∠A．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查角平分线的定义．