Question

如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD，OA=2．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD+OC=9，求CD的长．（结果保留根号）

Answer 1

证明：（1）连结OD．
∵AD∥OC，
∴∠1=∠2，∠A=∠3．
∵OA=OD，
∴∠A=∠1，
∴∠2=∠3，
∴在△ODC与△OBC中，
，
∴△ODC≌△OBC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，即OD⊥CD．
又OD是圆O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠OBC=90°，∴∠ADB=∠OBC
又∠A=∠3，∴△ADB∽△OBC
∴，AD•OC=OB•AB=2×4=8；
又AD+OC=9，
∴AD、OC是关于x的方程x²-9x+8=0的两个根．
∵OC＞OD，∴OC=8，AD=1，OD=2，
∴CD=
分析：（1）如图，连接OD，欲证明CD是⊙O的切线，只需证得∠ODC=90°，即OD⊥CD即可；
（2）由△ADB∽△OBC的对应边成比例求得AD•OC=OB•AB=2×4=8，结合已知条件“AD+OC=9”，则AD、OC是关于x的方程x²-9x+8=0的两个根．据此求得OC、OD的值，所以在直角△OCD中，根据勾股定理来求线段CD的长度即可．
点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．