Question

6．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c（c＞0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD=m，△PCD的面积为S，
①求S与m的函数关系式，并写出m的范围；
②求S的最大值；
③探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）①求出P点的坐标，据此可根据三角形的面积计算方法求出S与m的函数关系式；
②利用配方法求出二次函数最值即可；
③先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，以及P点纵坐标，即可得出符合条件的P点的坐标．

解答 解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-9+3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）①∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有 $\left\{\begin{array}{l}{4=k+n}\\{0=3k+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线MB的解析式为y=-2x+6
∵PD⊥x轴，OD=m，
∴点P的坐标为（m，-2m+6）
S_三角形PCD=$\frac{1}{2}$×（-2m+6）•m=-m²+3m（1≤m＜3）；

②∵S_三角形PCD=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴S的最大值为$\frac{9}{4}$；

③∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，当∠DPC=90°时，
当CP∥AB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD=OC=3，
∴P点纵坐标为：3，代入y=-2x+6，
∴x=$\frac{3}{2}$，此时P（$\frac{3}{2}$，3）．
∴线段BM上存在点P（ $\frac{3}{2}$，3）使△PCD为直角三角形．
当∠P′CD′=90°时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′²=CO•P′D′，
即9+m²=3（-2m+6），
∴m²+6m-9=0，
解得：m=-3±3$\sqrt{2}$，
∵1≤m＜3，
∴m=3（$\sqrt{2}$-1），
∴P′（3$\sqrt{2}$-3，12-6$\sqrt{2}$）
综上所述：P点坐标为：（$\frac{3}{2}$，3），（3$\sqrt{2}$-3，12-6$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识，正确利用直角三角形的性质分类讨论得出是解题关键．