Question

18．如图，将一块直角三角形纸片和半圆形纸片按图中方式叠放．直角三角形一直角边AC所在直线与半圆O的直径EF所在直线重合，使半圆O与斜边AB切于点M，与BC边交于点N．若重叠部分的弧所对应的圆心角（∠EON）为120°，OC的长为2cm，AE的长为3cm．
（1）求AM的长；
（2）求直角三角形纸片和半圆纸片重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OM，根据切线的性质得出∠AMO=90°，根据已知条件得出∠CON=60°，再根据勾股定理得出CN，AM即可，
（2）根据重叠部分的面积=扇形面积+△CON的面积，代入公式计算即可．

解答 解：（1）连接OM，
∵AB是⊙O切线，
∴∠AMO=90°，
∵∠EON=120°，∠ACB=90°，
∴∠ONC=30°，
∵OC=2，
∴ON=4，CN=2$\sqrt{3}$，
∵AE=3，OE=3，
∴AM=$\sqrt{{7}^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{33}$，
（2）S重叠部分面积=S△OCN+S扇形=$\frac{1}{2}$OC•CN+$\frac{120π•{4}^{2}}{360}$
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$+$\frac{8π}{3}$
=2$\sqrt{3}$+$\frac{8π}{3}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，扇形的面积，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．