Question

4．如图①，AD⊥BC，BC•CD=AC•CE．

（1）求证：BE⊥AC．
（2）在（1）的条件下，如图②，M为AD上一点，点F为AM中点，点G为BC中点，连接FG，若∠FHM=30°，AD=$4\sqrt{3}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定推出△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得出∠ADC=∠BEC，即可得出答案；
（2）连接EF、GE、AB，根据相似三角形的性质得出∠EAF=∠HBG，根据直角三角形斜边上中线性质得出EF=$\frac{1}{2}$AM=AF，EG=$\frac{1}{2}$BC=BG，推出∠EAF=∠AEF=∠HBG=∠BEG，证△AEF∽△BEG，推出$\frac{EF}{AE}$=$\frac{GE}{BE}$，求出∠AEB=∠GEF，证△ABE∽△FGE，根据相似三角形的性质得出∠FGE=∠ABE，求出∠ABD=∠FHE=30°，解直角三角形求出即可．

解答 证明：（1）∵BC•CD=AC•CE，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴∠ADC=∠BEC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC；

（2）解：连接EF、GE、AB，
∵△ADC∽△BEC，
∴∠EAF=∠HBG，
∵∠BEC=∠BEA=90°，F、G分别为AM、BC中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AM=AF，EG=$\frac{1}{2}$BC=BG，
∴∠HBG=∠GEB，∠EAF=∠AEF，
∴∠EAF=∠AEF=∠HBG=∠BEG，
∴△AEF∽△BEG，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{GE}{BE}$，
∵∠AEF=∠BEG，
∴∠AEF+∠FEH=∠BEG+∠FEH，
∴∠AEB=∠GEF，
∴△ABE∽△FGE，
∴∠FGE=∠ABE，
∵∠FHE=30°，
∴∠ABD=∠ABE+∠EBG=∠FGE+∠GEH=∠FHE=30°，
∵∠ADB=90°，AD=4$\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{AD}{tan30°}$=12．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，解直角三角形的应用，能综合运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键，难度偏大．