Question

19．已知直线y=$-\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C是平面直角坐标系内一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F．

（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）如图，点C在第二象限，当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；
（3）若点C在y轴的右侧，且⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径．

Answer 1

分析 （1）对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B的坐标即可；
（2）连接CF，利用切线的性质得到CF垂直于AF，进而得到一对直角相等，再利用两直线平行得到一对同位角相等，根据矩形的对边相等及圆的半径相等得到CF=OB，利用AAS得到三角形BCF与三角形AOB全等，得到CB=AB，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，确定出BC的长，根据C为第二象限角，确定出C的坐标即可；
（3）分三种情况考虑：①如图1所示，易得四边形OECD为正方形，利用切线长定理求出此时半径的长；②如图2所示，易得四边形OECD为正方形，利用切线长定理求出此时半径r的长；③如图3所示，易得四边形OECD为正方形，利用切线长定理求出此时半径的长即可．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，3）；
（2）连接CF，如图所示：

∵AF与圆C相切，
∴CF⊥AF，
∴∠BFC=∠AOB=90°，
∵四边形BOEC为矩形，
∴BC=OE，CE=OB，BC∥AE，
∴∠FBC=∠OAB，OB=CE=CF，
在△AOB和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BFC}\\{∠BAO=∠CBF}\\{OB=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BFC（AAS），
∴BC=AB，
在Rt△AOB中，利用勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
则C（-5，3）；
（3）分三种情况考虑：
①如图1，

∵∠CDO=∠DOE=∠CEO=90°，DC=CE，
∴四边形OECD为正方形，
由切线长定理得：3-r+4-r=5，
解得：r=1；
②如图2所示：

∵∠CDO=∠DOE=∠CEO=90°，DC=CE，
∴四边形OECD为正方形，
由切线长定理得：r-3+r-4=5，
解得：r=6；
③如图3所示，

∵∠CDO=∠DOE=∠CEO=90°，DC=CE，
∴四边形OECD为正方形，
由切线长定理得：r+3-（4-r）=5，
解得：r=3，
综上，圆C的半径分别为1，3，6．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，直线与圆相切的性质，正方形的判定与性质，切线长定理，熟练掌握性质是解本题的关键．