Question

14．如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线在第二象限内一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，与直线AB交于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点N，若点P在点Q左边，设点P的横坐标为m．
①当矩形PQNM的周长最大时，求△ACM的面积；
②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，过直线AC上一点G作y轴的平行线交抛物线一点F，是否存在点F，使得以点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点的坐标，再代入抛物线y=-x²+bx+c求出b、c的值即可；
（2）①先用m表示出PM的长，再求出抛物线的对称轴及PQ的长，利用矩形的面积公式可得出其周长的解析式，进而可得出矩形面积的最大值，求出C点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；
②根据C点坐标得出P点坐标，故可得出PC的长，再分点F在点G的上方与点F在点G的下方两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）∵直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-3，0），B（0，3）．
∵抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}-9-3b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=3\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）①∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m²-2m+3），PM=-m²-2m+3．
∵抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{2×（-1）}$=-1，
∴PQ=2（-1-m）=-2m-2．
∴矩形PQMN的周长=2（PM+PQ）=2（-m²-2m+3-2m-2）=-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
当m=-2时，矩形PQMN的周长最大，此时点C的坐标为（-2，1），CM=AM=1，
∴S_△ACM=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；

②∵C（-2，1），
∴P（-2，3），
∴PC=3-1=2．
∵点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形，GF∥y轴，
∴GF∥PC，且GF=PC．
设G（x，x+3），则F（x，-x²-2x+3），
当点F在点G的上方时，-x²-2x+3-（x+3）=2，解得x=-1或x=-2（舍去），
当x=-1时，-x²-2x+3=4，即F₁（-1，4）；
当点F在点G的下方时，x+3-（-x²-2x+3）=2，解得x=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
当x=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$时，-x²-2x+3=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$；
当x=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$时，-x²-2x+3=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，
故F₂（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），F₃（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．
综上所示，点F的坐标为F₁（-1，4），F₂（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），F₃（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质及二次函数图象上点的坐标特点等知识，在解答（3）时要先判断出平行四边形的边，再由平行四边形的性质求解．