Question

10．如图，抛物线C₁：y=ax²+bx+3与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且AB=BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，PQ⊥BC交x轴于点Q，PH、PQ分别交BC于M、N两点，试问：是否存在这样的点P，使得△PHQ的周长恰好被BC平分？若能，请求点P的坐标；若不能，请说明理由；
（3）将抛物线C₁向上平移t（t＞0）个单位得到抛物线C₂，若抛物线C₂的顶点为T，与x轴两个交点分别为R、S，若∠RTS＞∠ABC，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可设抛物线交点式解析式，根据待定系数法可求抛物线的函数关系式；
（2）设P（P，-$\frac{3}{4}$p²+$\frac{9}{4}$p+3），可得PH+QH+PQ=3PH=-$\frac{9}{4}$p²+$\frac{27}{4}$p+9，根据△PHQ的周长恰好被BC平分得到2（-$\frac{9}{4}$p²+$\frac{27}{4}$p+9）=-$\frac{9}{4}$p²+$\frac{27}{4}$p+9，得到P（4，0），P′（5，-$\frac{9}{2}$），根据P在第一象限，可得不存在；
（3）由C₁：y=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{16}$，得到C₂：y=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+3m²（m＞0），令y=0得-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²=3m²，得到S（$\frac{3}{2}$+2m，0），又由Q（$\frac{3}{2}$，0），得到QS=2m，在等腰△TRS和等腰△BCA中，若∠RTS=∠ABC，则∠TSQ=∠BAC，进一步得到t=12-$\frac{75}{16}$=$\frac{117}{16}$，从而得到t的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：A（-1，0），B（4，0），C（0，3）
∴设y=a（x+1）（x-4），
∵过C（0，3），
∴3=-4a，
解得a=-$\frac{3}{4}$．
∴抛物线的函数关系式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；
（2）设P（P，-$\frac{3}{4}$p²+$\frac{9}{4}$p+3），
又∵BC：y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴M（P，-$\frac{3}{4}$p+3），
∴PM=-$\frac{3}{4}$p²+3p，PN=$\frac{4}{5}$PM=-$\frac{3}{5}$p²+$\frac{12}{5}$p，
PM+PN=-$\frac{27}{20}$p²+$\frac{27}{5}$p，
又∵QH=$\frac{3}{4}$PH，PQ=$\frac{5}{4}$PH，
∴PH+QH+PQ=3PH=-$\frac{9}{4}$p²+$\frac{27}{4}$p+9，
∴2（-$\frac{9}{4}$p²+$\frac{27}{4}$p+9）=-$\frac{9}{4}$p²+$\frac{27}{4}$p+9，
∴P²-9+20=0，
∴P₁=4，P₂=5，
∴P（4，0），P′（5，-$\frac{9}{2}$），
又∵P在第一象限，
∴不存在．
（3）∵C₁：y=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{16}$，
∴C₂：y=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+3m²（m＞0），
令y=0得-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²=3m²，
∴x₁=$\frac{3}{2}$+2m，x₂=$\frac{3}{2}$-2m，
∴S（$\frac{3}{2}$+2m，0），
又∵Q（$\frac{3}{2}$，0），
∴QS=2m，
在等腰△TRS和等腰△BCA中，
若∠RTS=∠ABC，则∠TSQ=∠BAC，
又∵tan∠BAC=3，
∴tan∠TSQ=3，
即$\frac{TQ}{QS}$=$\frac{3{m}^{2}}{2m}$=3，m=2，
∴C₂：y=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+12，
∴t=12-$\frac{75}{16}$=$\frac{117}{16}$，
∴0＜t＜$\frac{117}{16}$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的函数关系式，三角形的周长，各象限点的坐标特征，平移的性质，三角函数，综合性较强，有一定的难度．