Question

如图，直线OC、BC的函数关系式分别是：y₁=x和y₂=-2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3）
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y₁＞y₂？
（2）求△COB的面积；
（3）是否存在点P，使CP将△COB分成的两部分面积之比为1：2？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）解方程组 ，
解得 ，
∴C点坐标为（2，2）；
∴当x＞2时，y₁＞y₂；

（2）如上图，作CD⊥x轴于点D，则D（2，0），
∵直线y₂=-2x+6与x轴交于B点，
∴B（3，0），
∴S_△BOC=OB•CD=×3×2=3

（3）∵CP将△COB分成的两部分面积之比为1：2，
∴①S_△COP=S_△BOC
=×3=1，
∴OP•CD=×OP•2=1，
∴OP=1，
∴P点的坐标（1，0）；
②S_△COP=S_△BOC
=×3=2，
∴OP•CD=×OP•2=2，
∴OP=2，
∴P点的坐标（2，0）；
分析：（1）首先根据直线OC、BC的函数关系式分别是y₁=x和y₂=-2x+6，列出方程组 ，求得两直线的交点坐标．
（2）先作CD⊥x轴于点D，求出D点的坐标，再根据直线y₂=-2x+6与x轴交于B点，求出点B的坐标，即可得出S_△BOC；
（3）根据CP将△COB分成的两部分面积之比为1：2，分两种情况得出①S_△COP=S_△BOC，再求出^_△COD的面积，得出OP=1，即可得出P点的坐标；②S_△COP=S_△BOC，求出△COD的面积，得出OP=2，即可得出P点的坐标；
点评：此题主要考查平面直角坐标系中图形的面积的求法．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．本题是函数与三角形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．