Question

16．如图，在△ABC中，AC=BC，延长BC到点D，使CD=CB，连接AD，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点E、F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果AB=12，∠ABC=60°，求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）求出AC=BC=CD=$\frac{1}{2}$BD，即可求出∠BAD=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）连接OE、AF、OF，分别求出等边三角形AOE、BOF、ABC的面积和扇形EOF的面积，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵AC=BC，BC=CD，
∴AC=BC=CD=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠BAD=90°，
即AD⊥BA，
∵BA过O，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：
连接OE、AF、OF，
∵AC=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=BC=AC=12，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，BF=FC=$\frac{1}{2}$BC=6，
在Rt△AFB中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×12×6\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$；
∵OB=OF，∠ABC=∠BAC=60°，OA=OE，
∴△OBF、△AOE都是等边三角形，
∴OB=BF=OF=6，OA=OE=AE=$\frac{1}{2}$AB=6，∠AOE=∠BOF=60°，
∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，
同法可求S_△OBF=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
同理S_△AOF=9$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积是：S_△ABC-S_△BOF-S_△AOE-S_扇形EOF
=36$\sqrt{3}$-9$\sqrt{3}$-9$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$
=18$\sqrt{3}$-6π．

点评 本题考查了切线的判定，三角形的面积，扇形的面积的应用，能求出AB⊥AD和求出△ABC、△AOE、△BOF的面积是解此题的关键．