Question

如图，在正方形ABCD中，点P是CD边上的点，连结BP，将△BCP绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△DCE，连结EP并延长，交AD于点F，连结BF、FC．
（1）证明△CEP是等腰直角三角形；
（2）若CD=2CP，证明：四边形CEDF是平行四边形；
（3）若CD=kCP（k是常数，k＞0），记△BPF的面积为s₁，△DEP的面积为s₂，证明：s₁=（k+1）s₂．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据旋转的性质可得CE=CP，∠ECP=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定即可；
（2）求出CP=PD，再利用“角边角”证明△CPE和△DPF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（3）设CP=1，表示出CD=k，然后根据S₁=S_△BEF-S_△BEP利用三角形的面积公式列式整理，再表示出S₂，然后相比即可得解．

解答：解：（1）由于旋转的性质可知，CE=CP，∠ECP=90°，
∵△CEP是等腰直角三角形；

（2）∵CD=2CP，
∴CP=PD，
∵四边形ABCD是正方形，AD∥BC，
∴∠FDP=∠ECP=90°，
在△CPE和△DPF中，

∠FDP=∠ECP=90° DP=CP ∠CPE=∠DPF

，
∴△CPE≌△DPF（ASA），
∴CE=DF，
又∵CE∥DF，
∴四边形CEDF是平行四边形；

（3）∵CD=kCP，
∴设CP=CE=1，则CD=k，
S₁=S_△BEF-S_△BEP，
=

1

2

（k+1）•k-

1

2

（k+1）•1，
=

1

2

（k+1）（k-1），
S₂=

1

2

DP•CE=

1

2

（k-1）•1，
∵

S1

S2

=

1 2 (k+1)(k-1)

1 2 (k-1)•1

=k+1，
∴s₁=（k+1）s₂．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，平行四边形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．