Question

如图1，抛物线y=nx²-11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）填空：点B的坐标为（______），点C的坐标为（______）；
（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．
①求此时抛物线的解析式；
②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=nx²-11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=nx²-11nx+24n，
解得：x₁=3，x₂=8，
∴OB=3，OC=8，
故B点坐标为（3，0），C点坐标为：（8，0）；

（2）①如图1，作AE⊥OC，垂足为点E
∵△OAC是等腰三角形，∴OE=EC=×8=4，∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，∴△ACE∽△BAE，∴=，
∴AE²=BE•CE=1×4，∴AE=2，
∴点A的坐标为 （4，2），
把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=nx²-11nx+24n，得n=-，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x-12，

②∵点M的横坐标为m，且点M在①中的抛物线上，
∴点M的坐标为 （m，-m²+m-12），由①知，点D的坐标为（4，-2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x-4，
∴点N的坐标为 （m，m-4），
∴MN=（-m²+m-12）-（m-4）=-m²+5m-8，
∴S_{四边形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=MN•CE=（-m²+5m-8）×4，
=-（m-5）²+9，
∴当m=5时，S_{四边形AMCN}=9．
分析：（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；
（2）①利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式；
②首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S_{四边形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标求法以及菱形性质和四边形面积求法等知识，根据已知得出△ACE∽△BAE是解决问题的关键．