Question

如图，抛物线y=a（x+2）²+k与x轴交于A，0两点，将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线，它的顶点在x轴上，新抛物线上的D，E两点分别是A，O两点平移后的对应点．设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的面积为S．P（m，n）是新抛物线上一个动点，且满足2m²+2m-n-w=0．
（1）求新抛物线的解析式．
（2）当m=-2时，点F的坐标为（-2w，w-4），试判断直线DF与AE的位置关系，并说明理由．
（3）当w的值最小时，求△AEP的面积与S的数量关系．

Answer 1

解：（1）由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（-2，-4），可设其抛物线解析式为：y=a（x+2）²-4，代入原点坐标，得：
a（0+2）²-4=0，a=1
∴原抛物线解析式：y=（x+2）²-4=x²+4x；
那么，新抛物线解析式为 y=x²+4x+4．

（2）直线DF与AE的位置关系为 DF∥AE．理由如下：
当m=-2时，P（-2，0）；
把点 P（-2，0）代入2m²+2m-n-w=0中，可得：8-4-0-w=0，w=4，所以点F（-8，0）；
易求得A（-4，0）、D（-4，4）、E（0，4）；
那么，∴△DAF≌△EOA；
∴∠DFA=∠EAO，则 DF∥AE．

（3）连接DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积；
所以S=S_{四边形AOED}=4×4=16．
因为点P（m，n）是新抛物线上的一点，所以 n=m²+4m+4，
又因为点P的坐标满足2m²+2m-n-w=0，所以 w=2m²+2m-n=2m²+2m-（m²+4m+4）=（m-1）²-5．
当m=1时，w取最小值-5，此时n=9，即点P的坐标为（1，9）．
过点P作PH⊥x轴于H，如右图；
S_△AEP=S_△APH-S_△AOE-S_梯形EOHP
=×5×9-×4×4-（4+9）×1
=8；
所以S_△AEP=S．
分析：（1）抛物线向上平移4个单位后得到的抛物线顶点在x轴上，那么原抛物线顶点纵坐标为-4，可先将原抛物线解析式设为顶点式，再代入原点坐标，即可确定原抛物线解析式；最后根据“左加右减、上加下减”的平移规律求出新抛物线的解析式．
（2）由m的值（即点P横坐标），可求出n的值，再代入关于m、n、w的方程可求出w的值，由此能得到点P、F的坐标，而点A、D、E的坐标易知，根据这些点的特点即可判断出DF、AE的位置关系．
（3）第一步，先求出S的值；由于新抛物线是原抛物线平移所得，若连接DE，那么将下面的曲线部分补偿到x轴上方，S所表示的面积正好等于四边形AOED的面积．
第二步，求出△AEP的知；点P在新抛物线的图象上，可得出m、n的关系式，代入题干给出的方程，即可得到关于m、w的函数关系式，根据函数的性质即可确定当w最小时，m的值，即可确定点P的坐标，通过观察A、E、P三点坐标，可过P作x轴的垂线，△AEP的面积可视为：大直角三角形的面积减去小直角三角形与直角梯形的面积和．
综合上面两步，可得到△AEP的面积与S的数量关系．
点评：题目主要考查了函数解析式的确定、函数图象的平移、全等三角形的判定和性质以及图形面积的解法．需要熟记的是函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”；（3）题中，通过图形间的“割补”，得出S与正方形AOED面积的等量关系是解题的关键所在．