Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是边AB、AC的中点．⊙O过点D、E，且与AB相切于点D，求⊙O的半径r．

Answer 1

解：连接OD，过O作OF⊥ED，垂足为F，
∵DE是△ABC的中位线
∴DEBC
∴∠AED=∠C=90°
又∵BC=4
∴DE=2，FD=1
AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB
∵∠A+∠ADE=∠ODE+∠ADE=90°
∴∠A=∠ODE
Rt△ABC∽Rt△DOF
∴，即
∴，即⊙O的半径为．
分析：此题可以把要求的线段和已知的线段构造到两个相似三角形中，连接OD，OE，作OF⊥DE于F，根据弦切角定理和直角对应相等，得到两个三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得圆的半径．
点评：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定方法，要求学生熟练掌握并能够灵活运用．