Question

如图，在△ABC中，∠A+∠B=2∠ACB，BC=8，D为AB的中点，且CD=，求AC的长．

Answer 1

解：如图，取BC的中点F，连接DF，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A+∠B=2∠ACB，
∴∠ACB+2∠ACB=180°，
∴∠ACB=60°，
∵BC=8，
∴BF=FC=4，
∵D为AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC且AC=2DF，
∴∠DFE=∠ACB=60°，
设EF=x，则DE=x，
EC=x+4，
在Rt△CDE中，DE²+EC²=CD²，
即（x）²+（x+4）²=（）²，
解得x=，x=-（舍去），
∴DF=2EF=2x=2×=，
AC=2DF=2×=3．
分析：取BC的中点F，连接DF，过点D作DE⊥BC于E，根据三角形的内角和定理求出∠ACB=60°，根据中点定义求出BF=FC=4，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF∥AC且AC=2DF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠DFE=∠ACB，设EF=x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再求出DF、AC即可．
点评：本题考查了勾股定理，三角形的中位线定理，平行线的性质，作辅助线构造出直角三角形并利用勾股定理列出方程是解题的关键．