Question

如图，已知抛物线l₁：y=x²-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l₁上的动点（B不与A、C重合），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
（1）求l₂的解析式；
（2）求证：点D一定在l₂上；
（3）?ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．
注：计算结果不取近似值．

Answer 1

解：（1）设l₂的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵l₁与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l₂与l₁关于x轴对称，
∴l₂过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
∴
∴a=-1，b=0，c=4，
即l₂的解析式为y=-x²+4．
（还可利用顶点式、对称性关系等方法解答）

（2）设点B（m，n）为l₁：y=x²-4上任意一点，则n=m²-4，（*）
∵四边形ABCD′是平行四边形，点A、C关于原点O对称，
∴B、D′关于原点O对称，
∴点D′的坐标为D′（-m，-n）．
由式方程式可知，-n=-（m²-4）=-（-m）²+4，
即点D′的坐标满足y=-x²+4，又D与D′关于y轴对称，
∴点D在l₂上．

（3）?ABCD能为矩形．
过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l₁：y=x²-4上，可设点B的坐标为（x₀，x₀²-4），
则OH=|x₀|，BH=|x₀²-4|．
易知，当且仅当BO=AO=2时，?ABCD为矩形．
在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x₀|²+|x₀²-4|²=2²，
（x₀²-4）（x₀²-3）=0，
∴x₀=±2（舍去）、x₀=±．
所以，当点B坐标为B（，-1）或B′（-，-1）时，?ABCD为矩形，
此时，点D的坐标分别是D（-，1）、D′（，1）．
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．
设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB，
∴=，
∴．
∴EO=4-2．
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为
S=2S_△ACE=2××AC×EO=2××4×（4-2）=16-8．
（还可求出直线AB与y轴交点E的坐标解答）
分析：（1）根据l₁的解析式可求l₁与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l₂与l₁关于x轴对称，实际上是l₂与l₁的顶点关于x轴对称，即l₂的顶点为（0，4），设顶点式，可求抛物线l₂的解析式；
（2）平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B（m，n），则点D（-m，-n），由于B（m，n）点是y=x²-4上任意一点，则n=m²-4，∴-n=-（m²-4）=-m²+4=-（-m）²+4，可知点D（-m，-n）在l₂y=-x²+4的图象上；
（3）构造∠ABC=90°是关键，连接OB，只要证明OB=OC即可，为求OB长，过点B作BH⊥x轴于H，用B的坐标为（x₀，x₀²-4），可求OB，用OB=OC求x₀，再计算面积．
点评：本题是一道函数型综合题，涉及二次函数、相似形、四边形等知识，三个小题的坡度设计很恰当，能较好地体现出试题的区分度，对第2题的证明过程要仔细领悟．