Question

如图，在等腰Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，E在边AB上，F在边AC上，且∠EDF=90°．
（1）当E在何处时，线段EF的长最短；
（2）根据（1）的推理过程及所学知识，请你写出该题的一个变式．（不要求证明）

Answer 1

解：（1）连接AD．
∵Rt△ABC中，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAE=∠C=45°，AD=CD=BD．
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE=90°-∠ADF=∠CDF．
∴△CDF≌△ADE，（ASA）
∴DE=DF．
∴EF=．
∴当DE最短时，EF最短．
当DE⊥AB时，DE最短．
∵AD=DB，
∴当DE⊥AB时，E为AB的中点．
∴当E是AB中点时，EF最短．

（2）若AB=1，求EF的最小值．
分析：（1）连接AD．根据等腰直角三角形性质，证明△CDF≌△ADE，得△DEF为等腰直角三角形，因此EF=DE．当DE最小时，EF最小．根据“垂线段最短”知E是AB中点时，EF最短．
（2）已知等腰Rt△ABC中一边的长度，可求EF的最小值．
点评：此题考查等腰直角三角形的性质，涉及最小值的分析和求解及发散思维与创新，综合性较强，难度较大．