Question

17．如图，在△ABC中，∠B=30°，点P是AB上一点，AP=3BP，PQ⊥BC于Q，连接AQ，则cos∠AQC的值为$\frac{3\sqrt{129}}{43}$．

Answer 1

分析 过A作BC的垂线AD，根据PQ⊥BC，∠B=30°可知BP=2PQ，BQ=$\sqrt{3}$PQ，故可得出△BPQ∽△BAD，再根据AP=3BP，可知AD=3PQ，DQ=2BQ=2$\sqrt{3}$PQ，进而可得出$\frac{AD}{DQ}$的值，设AD=$\sqrt{3}$x，则DQ=2x，由勾股定理可得出AQ的值，再由cos∠AQC=$\frac{DQ}{AQ}$即可得出结论．

解答 解：过A作BC的垂线AD，

∵PQ⊥BC，∠B=30°，
∴BP=2PQ，BQ=$\sqrt{3}$PQ，
∵AD⊥BC，
∴△BPQ∽△BAD，
∵AP=3BP，
∴AD=4PQ，DQ=3BQ=3$\sqrt{3}$PQ，
∴$\frac{AD}{DQ}=\frac{4PQ}{3\sqrt{3}PQ}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
设AD=$\sqrt{3}$x，则DQ=$\frac{9}{4}$x，AQ=$\sqrt{A{D}^{2}+D{Q}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+（\frac{9}{4}x）^{2}}=\frac{\sqrt{129}}{4}x$，
∴cos∠AQC=$\frac{DQ}{AQ}=\frac{\frac{9}{4}x}{\frac{\sqrt{129}}{4}x}=\frac{9\sqrt{129}}{129}$=$\frac{3\sqrt{129}}{43}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{129}}{43}$

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．