Question

如图，等边△ABC的边长为6，BC在x轴上，BC边上的高线AO在y轴上，直线l绕点A转动（与线段BC没有交点）．设与AB、l、x轴相切的⊙O₁的半径为r₁，与AC、l、x轴相切的⊙O₂半径为r₂
（1）求两圆的半径之和；
（2）探索直线l绕点A转动到什么位置时两圆的面积之和最小？最小值是多少？
（3）若，求经过点O₁、O₂的一次函数解析式．

Answer 1

解：（1）解法1：设切点分别为M、N、E、F、P、Q，由切线定义，可得AM=AP，AN=AQ，EB=BP，FC=CQ，MN=EF，
∴MN+EF=18，MN=EF，
∴EF=9，
∴EB+FC=9-6=3，
∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴r₁=EB，
同理r₂=CF，
∴r₁+r₂=（EB+FC）=3，
解法2：∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴EB=PB=，同理CF=CQ=，
∴由EF=MN得：+6+=（6-）+（6-）
∴r₁+r₂=3
评分参考：①利用Rt△解得r与切线关系；②得出结果r₁+r₂=3，

（2）两圆面积之和S=，
∴当时，面积之和最小，这时r₁=r₂，直线l∥x轴，
面积和的最小值为；

（3）由r₁+r₂=3，r₁-r₂=，解得，，
直线O₁O₂解析式为．
分析：（1）本小题先根据切线的性质得到EF的长，再依据锐角三角函数求出EB+FC的值，进而解决问题；
（2）解决本题的关键就是求出两圆之和和r₁之间的函数关系式，根据二次函数的极值解决问题；
（3）本小题主要用待定系数法求出一次函数的解析式．
点评：本题主要考查学生对圆的切线性质及二次函数相关知识的掌握程度，难度比较大，关键是通过圆的切线性质的应用及待定系数法．