Question

19．已知，如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析 设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；则PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，分两种情况：①当$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$时；②当$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$时；分别解方程即可得出结果．

解答 解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；
则PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，
∵∠B=90°，
∴分两种情况：
①当$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$时，
即$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8}$，
解得：t=2.4；
②当$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$时，
即$\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=$\frac{18}{11}$；
综上所述：2.4秒或$\frac{18}{11}$秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．