Question

已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。

（I）求双曲线C的方程；                                

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。

Answer 1

已知双曲线C的方程为

离心率顶点到渐近线的距离为

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.

解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线

∴

由 得 ∴双曲线C的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为

设

由得P点的坐标为

将P点坐标代入化简得

设∠AOB

又

记

由

当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是

解答二（Ⅰ）同解答一

      （Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知

       由{ 得A点的坐标为

       由{ 得B点的坐标为

       由得P点的坐标为 

       将P点坐标代入

设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

     =

以下同解答一.