Question

已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+k-2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若以此方程的两个根为横坐标、纵坐标的点P恰好在双曲线y=

1-k

x

上，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得△=[-2（k+1）]²-4×（k²+k-2）≥0，即4k+12≥0，解不等式即可；
（2）设原方程的两个根为x₁，x₂，而以此方程的两个根为横坐标、纵坐标的点P恰好在双曲线y=

1-k

x

上，则x₁x₂=1-k，且1-k≠0，再根据根与系数的关系得x₁x₂=k²+k-2，这样就得到关于k的方程k²+k-2=1-k，解方程，即可得到满足条件的k的值．

解答：解：（1）∵方程x²-2（k+1）x+k²+k-2=0有实数根．
∴△=[-2（k+1）]²-4×（k²+k-2）≥0，即4k+12≥0，
解得　k≥-3；
（2）设原方程的两个根为x₁，x₂，
根据题意得x₁x₂=1-k，且1-k≠0，
又由一元二次方程根与系数的关系得：x₁x₂=k²+k-2，
∴k²+k-2=1-k，
解得 k₁=1，k₂=-3，
而k≠1，
∴k=-3．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．