Question

13．如图，点C在∠MAN的边AM上，CD⊥AN，垂足为点D，点B在边AN上运动，∠BCA的平分线交AN于点E．
（1）若∠A=30°，∠B=70°，求∠ECD的度数；
（2）若∠A=α，∠B=β，求∠ECD的度数（用含α，β的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理可得∠ACB，由平分线性质可知∠ECB=40°，由三角形的内角和定理可得∠DCB；
（2）利用分类讨论的思想，情况一：β＞α，情况二：β＜α时，∠ECD=$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β；情况三：β=α时，∠ECD=0°；

解答 解：（1）如图，在△ABC中，
∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=40°，
在△BCD中，
∵CD⊥AN，∠B=70°，
∴∠DCB=20°，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=20°；

（2）情况一：β＞α，
①β＜90°时，∠ECD=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α，
②β=90°时，∠ECD=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α，
③β＞90°时，∠ECD=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α；
情况二：β＜α时，∠ECD=$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β；
情况三：β=α时，∠ECD=0°；
综上所述，$∠ECD=\frac{|α-β|}{2}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，分类讨论是解题的关键．